Terceira Lista

• dificuldade: 25%

Um carro de corrida termina uma volta de certo circuito em 84 segundos. Durante a volta, medidas de velocidade (v) foram tomadas a cada 6 segundos e resultaram nos valores listados abaixo:

Qual é a extensão da pista? Estime o resultado usando tanto o método dos trapézios quanto o de Simpson.

• dificuldade: 35%

A figura representa a fotografia de um lago, com as medidas dadas em quilômetros. Calcule a área do lago usando a regra de Simpson.

Um lago

×

OK

• dificuldade: 25%

O perímetro de uma elipse com semi-eixo maior $a$ e semi-eixo menor $b$ é dado por

sendo

a excentricidade da elipse (se $b>a$, troque as posições de $a$ e $b$ na fração).

1. Calcule $C$ quando $a=20\,$cm e $b=10\,$cm.
2. Faça um gráfico de $C$ em função de $e$ para $a=10\,$cm no intervalo $0.1 \le e \le 10$. No mesmo gráfico, mostre o perímetro de um círculo de raio $a$.

• dificuldade: 40%

A função erro $(\mathrm{erf})$ é importante em Estatística, Transferência de Calor e Mecânica Quântica, entre outras áreas do conhecimento. Ela é definida pela seguinte integral:

1. Monte uma tabela da função erro com seis casas decimais para valores de $x$ no intervalo $[0,\ 3]$ com um passo $\Delta x=0.1$.
2. Faça um gráfico da função no mesmo intervalo.
3. Estime graficamente o valor do limite

• dificuldade: 50%

A função de Debye é definida como

(cuidado! O integrando não é definido em $u=0$ e você tem que tomar cuidado ao calcular a integral).

No modelo de Debye, o calor específico molar de um sólido a volume constante é dado por

sendo $T$ a temperatura em Kelvin, $\theta_D$ a temperatura de Debye do material e $R=8.31451\,$J$\,$mol$\,^{-1}$K$\,^{-1}$ a constante universal dos gases. O calor específico molar mede a quantidade de energia que um mol do material absorve/libera devido a alguma variação de temperatura.

1. Implemente a função de Debye em python.
2. Faça um gráfico de $c_v$ em função de $T$ para o diamante, para o qual $\theta_D=1849\,$K. No mesmo gráfico, mostre os pontos experimentais encontrados nos seguintes artigos:
   • K. S. Pitzer, J. Chem. Phys. 6 (1938) 68 (https://doi.org/10.1063/1.1698710);
   • A. C. Victor, J. Chem. Phys. 36 (1962) 1903 (https://doi.org/10.1063/1.1701288).

   Os dados estão aqui em arquivos-texto (diamante-pitzer.dat e diamante-victor.dat) ou neste arquivo excel.

• dificuldade: 20%

Delimite o erro que se comete ao calcular

pela fórmula de Simpson com $h=0.1$.

• dificuldade: 30%

Deseja-se calcular

com erro inferior a $1/2400$ usando a fórmula dos trapézios. Qual deve ser o passo escolhido? Repita o exercício para a fórmula de Simpson.

Se for usar o python para calcular logaritmos naturais (ou seja, em base $e$), use a função numpy.log. Se quiser log na base 10, use numpy.log10 e, em base 2, numpy.log2. Para qualquer outra base, use a fórmula de mudança de base, $\log_a b = \log_c a \, / \log_c b$ (e use $c=e$, $10$ ou $2$ em python, apesar de a fórmula valer para qualquer base $c$).